[JEUX]Gymnastique des neurones

Effectuer les calculs suivants :
Prendre 1000 et y ajouter 40. Ajouter 1000.
Ajouter encore 30 et à nouveau 1000.
Ajouter 20. Ajouter 1000, puis 10.
Quel est le total ?

Enigme 27
Où sont les erreurs dans les quatre démonstrations de l’égalité 1 = 2 ci-dessous ?

Première preuve :
partons de deux nombres A et B supposés égaux
A = B

Multiplions par A :
A² = AB

Retranchons B² :
A² - B² = AB - B²

Factorisons :
(A - B)(A + B) = B(A - B)

Simplifions :
A + B = B

Comme on a supposé A et B égaux, choisissons A = B = 1 :
1 + 1 = 1

D’où :
1 = 2


Deuxième preuve : partons de l’égalité suivante :
N² = N + N + … + N (N termes)

En dérivant, on obtient :
2N = 1 + 1 + … + 1 (N termes)

C’est-à-dire :
2N = N

Et en choisissant N = 1, on obtient :
1 = 2


Troisième preuve :
partons de l’égalité suivante, valable pour tout entier n :
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2

En ne sommant que jusqu’à n - 1, cette égalité s’écrit :
1 + 2 + 3 + … + (n - 1) = (n - 1)n/2

En ajoutant 1 à chaque membre cette égalité :
1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + 1 = (n - 1)n/2 + 1

C’est-à-dire :
1 + 2 + 3 + … + n = (n - 1)n/2 + 1

Et en combinant avec l’égalité initiale :
n(n + 1)/2 = (n - 1)n/2 + 1

Multiplions par 2 :
n(n + 1) = (n - 1)n + 2

Développons et réduisons :
n = -n + 2
2n = 2
n = 1

Tout entier n est égal à 1. En particulier (en choisissant n = 2) :
2 = 1


Quatrième preuve :

On voudrait prouver que :
1 = 2

Ou, ce qui revient au même :
2 = 1

En ajoutant membre à membre :
3 = 3


Puisque la dernière égalité est vraie, c’est que la première aussi l’est.

Quatrième preuve :

On voudrait prouver que :
1 = 2

Ou, ce qui revient au même :
2 = 1

En ajoutant membre à membre :
3 = 3


Puisque la dernière égalité est vraie, c’est que la première aussi l’est.